A. Kaidah
Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi
1.
Ruang sampel suatu percobaan
Ahmad dan Amir bermain ular tangga di ruang tamu. Ahmad dan Amir
melemparkan sebuah mata dadu secara bergantian untuk menjalankan pion yang
dimainkannya. Mata dadu apa saja yang mungkin muncul pada tiap pelemparan
sebuah mata dadu?
Sebuah dadu bermata enam memuat bilangan yang berbeda pada setiap
sisinya. Setiap sisi melambangkan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 sesuai jumlah
titik yang ada pada sisinya. Kemungkinan yang muncul pada peristiwa pelemparan
sebuah mata dadu adalah munculnya dadu bermata 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Pada
peristiwa pelemparan sebuah mata uang logam, kemungkinan yang akan muncul
adalah mata uang bersisi angka (A) atau sisi gambar (G).
Himpunan dari semua kemungkinan-kemungkinan yang bisa terjadi pada
setiap peristiwa pelemparan/pengetosan sebuah benda seperti di atas dinamakan ruang
sampel(dilambangkan dengan S). Pada peristiwa pelemparan sebuah mata dadu
ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Pada peristiwa pelemparan sebuah mata uang logam ruang sampelnya S = {A,
G}.
Untuk mengetahui ruang sampel percobaan pengetosan/pelemparan
sebuah obyek yang dilakukan sekali cukup hanya mendaftar
kemungkinan-kemungkinan yang bisa muncul dari obyek tersebut. Namun untuk
mengetahui ruang sampel pada pelemparan suatu obyek lebih dari satu kali akan
lebih mudah diketahui dengan membuat diagram pohon dan membuat tabel.
Hal yang sama juga dapat dilakukan pada satu percobaan melambungkan beberapa
obyek sekaligus. Perlu diketahui bahwa percobaan yang dimaksud disini harus
dilakukan secara acak (random) dan adil, artinya kita tidak mengatur
hasil percobaan agar sesuai dengan keinginan, hasil percobaan dibiarkan apa
adanya.
Contoh:
·
Tentukan
ruang sampel dari dua kali pelemparan sebuah mata uang logam.
·
Tentukan
ruang sampel dari sebuah percobaan pelemparan satu mata uang logam dan satu
mata dadu sekaligus.
Jawab:
·
Sebuah
mata uang logam dilemparkan dua kali. Ruang sampel sebuah mata uang logam pada
pelemparan pertama adalah sisi angka (A) dan sisi gambar(G), dan ruang sampel
pada pelemparan kedua adalah sisi angka (A) dan sisi gambar (G). Maka untuk
mengetahui ruang sampel pada dua kali percobaan tersebut adalah:
a)
Dengan
diagram pohon:
kemungkinan
kemungkinan
kemungkinan
pelemparan ke-1 pelemparan
ke-2 kejadian
A AA
A
G AG
A GA
G
G GG
Jadi
ruang sampel pada percobaan di atas adalah: S = {AA, AG, GA, GG}.
b)
Dengan
tabel:
Kemungkinan pelemparan ke-1
|
Kemungkinan
pelemparan ke-2
|
||
A
|
B
|
||
A
|
A A
|
A G
|
|
G
|
G A
|
GG
|
|
Jadi ruang
sampel pada percobaan di atas adalah: S = {AA, AG, GA, GG}.
·
Ruang
sampel pada peristiwa pelemparan sebuah mata uang logam adalah sisi angka (A)
dan sisi gambar (G). Sedangkan ruang sampel pada peristiwa pelemparan sebuah
mata dadu adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, maka untuk mengetahui ruang
sampel pada peristiwa pelemparan sekaligus dua obyek tadi adalah:
a)
Dengan
diagram pohon:
kemungkinan kemungkinan kemungkinan
obyek 1
obyek 2 kejadian
1 A 1
2 A 2
A 3 A 3
4 A 4
5 A 5
6 A 6
1 G 1
2 G 2
3 G 3
G 4 G 4
5 G 5
6 G 6
Jadi ruang
sampel pada percobaan di atas adalah: S = {A1, A2, A3, A4,A5, A6, G1, G2,G3,
G4, G5, G6}.
b)
Dengan
tabel:
Kemungkinan obyek 1 (mata uang
logam)
|
Kemungkinan
obyek 2 (mata dadu)
|
||||||
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
||
A
|
A 1
|
A 2
|
A 3
|
A 4
|
A 5
|
A 6
|
|
G
|
G 1
|
G 2
|
G 3
|
G 4
|
G 5
|
G 6
|
|
Jadi ruang
sampel pada percobaan di atas adalah: S = {A1, A2, A3, A4,A5, A6, G1, G2,G3,
G4, G5, G6}.
Catatan:
Untuk percobaan
menggunakan lebih dari tiga obyek, atau percobaan lebih dari dua kali, maka
penggunaan tabel menjadi tidak efektif,akan lebih mudah jika digunakan diagram
pohon.
Contoh:
Jika sepasang
pengantin baru ingin mempunyai 3 anak, tentukan urutan jenis kelamin yang
mungkin dari ketiga anak tersebut!
Jawab:
Jenis kelamin
yang mungkin untuk anak pertama, kedua, dan ketiga adalah laki-laki (L) dan
perempuan (P). Ruang sampel untuk soal di atas adalah:
kemungkinan kemungkinan kemungkinan kemungkinan
anak ke-1 anak ke-2 anak ke-3
hasil
L L L L
L
P L L P
L
L L P L
P
P L P P
L P L L
L
P P L P
P
L P P L
P
P P P P
Jadi
kemungkinan jenis kelamin ketiga anak tersebut adalah S = {LLL, LLP, LPL, LPP,
PLL, PLP, PPL, PPP}
2.
Menentukan banyaknya ruang sampel
Banyaknya ruang
sampel pada suatu percobaan adalah banyaknya kemungkinan yang bisa terjadi pada
hasil percobaan tersebut. Banyaknya ruang sampel dinotasikan dengan n(S).
Contoh:
·
Ruang
sampel untuk pelemparan sebuah mata uang logam adalah S = {A, G}, maka n(S) =
2.
·
Dua
buah kotak diisi beberapa kartu. Kotak pertama berisi lima buah kartu bernomor
1 sampai dengan 5, kotak kedua berisi dua buah kartu huruf A dan B. Jika dari
masing-masing kotak diambil sebuah kartu secara acak, makaruang sampel yang
terjadi adalah S = {1A, 1B, 2A, 2B, 3A, 3B, 4A, 4B, 5A, 5B}, jadi banyaknya
ruang sampel adalah: n(S) = 10.
Menentukan
banyaknya ruang sampel dapat dilakukan dengan mendaftar ruang sampel terlebih
dahulu kemudian menghitung banyaknya elemen dalam ruang sampel seperti contoh
di atas, namun cara ini tidak efektif jika digunakan untuk menentukan banyaknya
ruang sampel dari banyak kejadian. Untuk menentukan banyaknya ruang sampel dari
beberapa kejadian dapat digunakan prinsip perkalian.
Contoh:
·
Tentukan
banyaknya ruang sampel pada pelemparan dua buah mata uang logam!
Jawab:
Ruang sampel
percobaan tersebut adalah S = {AA, AG, GA, GG}. Maka banyaknya ruang sampel
adalah: n(S) = 4.
Untuk
mempermudah perhitungan dapat kita gunakan prinsip perkalian yaitu:
banyaknya ruang
sampel pada mata uang logam I n(S1)
= 2,
banyaknya ruang
sampel pada mata uang logam II n(S2)
= 2.
Maka banyaknya
ruang sampel jika kedua mata uang tersebut dilambungkan sekaligus adalah n(S) =
n(S1) x n(S2) = 2 x 2 = 4.
·
Tentukan
banyaknya ruang sampel pada percobaan pelemparan sebuah mata uang logam dan
sebuah mata dadu!
Jawab:
Ruang sampel
percobaan tersebut adalah S = {A1, A2, A3, A4,A5, A6, G1, G2,G3, G4, G5, G6}.
Maka banyaknya ruang sampel adalah:n(S) = 12.
Jika kita
gunakan prinsip perkalian, maka didapat:
banyaknya ruang
sampel pada mata uang logam n(S1)
= 2,
banyaknya ruang
sampel pada mata dadu n(S2) =
6.
Maka banyaknya
ruang sampel jika kedua mata uang tersebut dilambungkan sekaligus adalah n(S) =
n(S1) x n(S2) = 2 x 6 = 12.
Dari dua contoh
di atas dapat disimpulkan bahwa menentukan banyaknya ruang sampel tidak harus
mendata semua anggota ruang sampel yang ada, tetapi dapat digunakan prinsip
perkalian, atau dapat ditulis:
Jika suatu
peristiwa dapat terjadi dengan n(S1) cara dan peristiwa lain dapat
terjadi dengan n(S2) cara maka banyaknya peristiwa-peristiwa
tersebut dapat terjadi dengan:
n(S)
= n(S1) x n(S2)
cara berbeda
Secara umum dapat ditulis:
Untuk p buah peristiwa, dan tiap peristiwa mempunyai kemungkinan
n(Si) cara, maka banyaknya kemungkinan peristiwa itu terjadi adalah:
n(S)
= n(S1) x n(S2) x n(S3) x ..... x n(Sp) cara berbeda
Contoh:
·
Tentukan
banyaknya ruang sampel pada percobaan pelemparan dua buah mata dadu dan tiga
buah mata uang logam!
Jawab:
Banyaknya ruang sampel pada mata dadu 1,n(S1) = 6
Banyaknya ruang sampel pada mata dadu 2, n(S2) = 6
Banyaknya ruang sampel pada mata uang logam 1, n(S3) = 2
Banyaknya ruang sampel pada mata uang logam 2, n(S1) = 2
Jadi banyaknya ruang sampel pada percobaan pelemparan dua buah mata
dadu dan tiga buah mata uang logam adalah:
n(S) = n(S1)
x n(S2) x n(S3) x n(S4) = 6 x 6 x 2 x 2 = 144
a)
Pengisian tempat yang tersedia (Filling Slots)
Menentukan
banyaknya ruang sampel dapat dilakukan dengan carapengisian tempat yang
tersedia. Prinsip dari metode ini masih menggunakan prinsip perkalian.
Contoh:
Tentukan
banyaknya bilangan yang terdiri dari dua digit yang dapat disusun dari angka 1,
2, 3, 4, dan 5!
Jawab:
Bilangan
terdiri dari dua digit adalah bilangan puluhan sehingga disediakan dua buah
kotak sebagai bantuan. Kotak ini diisi banyaknya bilangan yang mungkin dan
sesuai dengan soal. Kotak pertama sebagai puluhan dapat diisi 5 angka. Kotak
kedua dapat diisi 5 angka:
Puluhan Satuan
5 x 5 =
25 bilangan.
Jadi
banyaknya bilangan yang terdiri dari dua digit yang dapat disusun dari angka 1,
2, 3, 4, dan 5 sebanyak 25 buah.
Contoh:
Tentukan
banyaknya bilangan ratusan yang dapat disusun dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5 dan
tidak ada angka yang berulang!
Jawab:
Contoh
di atas sedikit berbeda dengan dua contoh sebelumnya, pada soal ini angka tidak
boleh, berulang artinya jika angka sudah dipakai pada suatu digit, maka angka
itu tidak boleh dipakai lagi.
Misal:
pada bilangan 115, angka 1 berulang,
Pada
bilangan 242, angka 2 berulang, dst.
Dengan
demikian pengisian pada kotak yang tersedia adalah sebagai berikut:
Pada
digit satu diisi bebas sehingga bisa diisi 5 angka.
Pada
digit dua tidak diisi bebas karena pada digit pertama sudah dipakai satu angka,
sehingga pada digit kedua diisi 5 – 1 = 4 angka.
Pada
digit terakhir hanya dapat diisi 5 – 2 = 3 angka karena 5 angka yang tersedia
sudah dipakai dua angka pada digit sebelumnya.
Ratusan
Puluhan Satuan
5 x 4 x 3 =
60 bilangan.
Jadi
banyaknya bilangan ratusan yang dapat disusun dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5
dengan tidak ada angka yang berulang sebanyak 60 buah.
Tentukan
banyaknya bilangan ratusan ganjil yang dapat disusun dari angka 1, 2, 3, 4, dan
5!
Jawab:
Bilangan
ratusan adalah bilangan yang terdiri dari tiga digit sehingga disediakan tiga
buah kotak sebagai bantuan. Karena yang diminta adalah bilangan ganjil maka
digit terakhir harus ditentukan dahulu (karena suatu bilangan diketahui ganjil
atau genap diilihat dari digit terakhir). Kotak terkhir sebagai satuan hanya
dapat diisi bilangan ganjil yaitu 1, 3, dan 5 (berjumlah 3 angka). Kotak
pertama sebagai ratusan dan kotak kedua sebagai puluhan dapat diisi 5 angka:
Ratusan
Puluhan Satuan
5 x 5 x 3 =
75 bilangan.
Jadi
banyaknya bilangan ratusan ganjil yang dapat disusun dari angka 1, 2, 3, 4, dan
5 sebanyak 75 buah.
b)
Permutasi
Permutasi
merupakan himpunan yang beranggotakan elemen-elemen berlainan yang disusun
berdasarkan urutan tertentu. Dalam permutasi urutan susunan elemen-elemen dalam
suatu himpunan sangat diperhatikan,
perbedaan susunan menyebabkan perbedaan elemen.
1)
Notasi Faktorial
Notasi
faktorial dinotasikan dengan n! (dibaca n faktorial). N faktorial adalah
perkalian bilangan asli dari 1 sampai dengan n atau ditulis:
n! =
1 x 2 x 3 x 4 x ....... . (n – 2) x (n – 1) x n.
atau
n! = n . (n – 1) . (n – 2) . ...... . 4 . 3 . 2 . 1.
contoh:
5! = 5 . 4 . 3
. 2 . 1 = 120
3! + 4! = (3 .
2 . 1) + (4 . 3 . 2 . 1) = 6 + 24 = 30
(2 + 4)! = 6! =
6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
4! . 3! = (4 .
3 . 2 . 1) . (3. 2 .1) = 24 . 6 = 144
(2 x 3)! = 6! =
6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
= 5 . 6 = 30.
0! = 1
2)
Permutasi
dari unsur-unsur yang berbeda
Misalnya
terdapat 3 huruf yaitu A, P, dan I, akan disusun huruf yang terdiri dari 2
huruf berbeda, maka ruang sampel dari susunan huruf yang terdiri dari dua huruf
tanpa berulang dapat kita buat menggunakan diagram pohon sebagai berikut:
kemungkinan kemungkinan kemungkinan
huruf ke-1 huruf ke-2 kata
P A P
A
I AI
A P A
P
I PI
A I A
I
P I P
Ruang sampel
untuk permisalan di atas adalah S = {AP, AI, PA, PI, IA, IP}. Dapat kita lihat
bahwa susunan huruf pada tiap anggota ruang sampel tidak ada yang berulang.
Dari anggota ruang sampel tersebut terdapat susunan huruf yang mempunyai huruf
sama namun urutan huruf berbeda, seperti AP dan PA, IA dan AI, serta IP dan PI.
Walaupun hurufnya sama namun urutannya berbeda maka keduanya merupakan anggota
dari ruang sampel, sehingga banyaknya ruang sampel di atas adalah n(S) = 6. Permasalahan
seperti ini merupakan permasalahan permutasi.
Dengan demikian
dalam permutasi setiap ruang sampel unsur-unsurnya tidak berulang serta urutan
unsur-unsurnya diperhatikan.
Contoh:
Dari 4 siswa
pengurus OSIS akan dipilih:
· empat siswa untuk menduduki jabatan ketua, wakil ketua, sekretaris,
dan bendahara
· tiga siswa untuk menduduki jabatan ketua, wakil ketua dan
sekretaris
· dua siswa untuk menduduki jabatan ketua dan wakil ketua
· satu siswa untuk menduduki jabatan ketua
Tentukan
banyaknya pilihan yang mungkin dari siswa-siswa tersebut!
Jawab:
Sesuai dengan
aturan filling slots di atas, maka kita buat kotakan sejumlah jabatan
yang akan diisi. Perlu diingat dalam hal ini tidak dikenal rangkap jabatan
sehingga satu siswa hanya menjabat satu jabatan, tiap kotak mewakili jabatan
yang akan diisi:
· Dari empat siswa akan dipilih empat siswa untuk menduduki jabatan
ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara, sehingga disediakan empat kotak
untuk diisi banyaknya siswa yang mungkin menduduki jabatan tersebut. Karena
tidak terdapat rangkap jabatan, maka pengisian jabatan berikutnya berkurang
satu siswa.
Ketua Wakil
Ketua Sekretaris Bendahara banyaknya pilihan
4
|
X
|
3
|
x
|
2
|
x
|
1
|
=
|
24
|
· Dari empat siswa akan dipilih tiga siswa untuk menduduki jabatan
ketua, wakil ketua, dan sekretaris, sehingga disediakan tiga kotak untuk diisi
banyaknya siswa yang mungkin menduduki jabatan tersebut.
Ketua Wakil Ketua Sekretaris banyaknya
pilihan
4
|
X
|
3
|
x
|
2
|
=
|
24
|
· Dari empat siswa akan dipilih dua siswa untuk menduduki jabatan
ketua dan wakil ketua, sehingga disediakan dua kotak untuk diisi banyaknya
siswa yang mungkin menduduki jabatan tersebut.
Ketua Wakil Ketua banyaknya pilihan
4
|
x
|
3
|
=
|
12
|
·
Dari
empat siswa akan dipilih satu siswa untuk menduduki jabatan ketua OSIS,
sehingga disediakan satu kotak untuk diisi banyaknya siswa yang mungkin
menduduki jabatan tersebut.
Ketua banyaknya pilihan
4
|
=
|
4
|
Permasalahan-permasalahan
di atas dapat kita generalisasikan sebagai berikut:
Permasalahan di
atas memenuhi persyaratan permutasi, yaitu:
ü Unsur-unsur dalam tiap sampel tidak berulang, hal ini ditunjukkan
dengan tidak diperbolehkannya rangkap jabatan.
ü Urutan dalam tiap unsur diperhatikan, contoh untuk pemilihan dua
jabatan (misal siswa yang akan dipilih adalah A, B, C, dan D):
Ketua Wakil Ketua hasil
A B A
B
berbeda dengan:
Ketua Wakil
Ketua hasil
B A B
A
Disini terlihat
bahwa AB dan BA merupakan elemen yang berbeda walaupun siswa yang terpilih
adalah orang yang sama, namun karena jabatannya berbeda maka pilihan yang
terjadi pun berbeda.
· Pada kasus pertama akan dipilih empat orang untuk menduduki empat
jabatan yang tersedia, diperoleh:
n(S) =
4 . 3 . 2 . 1
= 4!
=
=
ingat bahwa 0! = 1
=
· Pada kasus kedua dipilih empat orang untuk menduduki tiga jabatan
yang tersedia, diperoleh:
n(S) = 4 . 3 . 2
=
=
=
· Pada kasus ketiga dipilih empat orang untuk menduduki dua jabatan
yang tersedia, diperoleh:
n(S) = 4 . 3
=
=
=
· Pada kasus keempat dipilih empat orang untuk menduduki satu jabatan
yang tersedia, diperoleh:
n(S) = 4
=
=
=
Dengan demikian dapat kita tarik kesimpulan sebagaiberikut:
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda
dengan r ≤ n adalah:
nPr =
Catatan:
Pada
beberapa literatur, permutasi dinotasikan dengan P(n, r) atau
Contoh:
Dalam
satu ruangan yang dihadiri 10 orang hanya disediakan 6 kursi. Tentukan
banyaknya kemungkinan orang-orang yang hadir mendapat tempat duduk.
Jawab:
n =
10 dan r = 6, banyaknya kemungkinan orang-orang menduduki kursi adalah:
10P6 =
= 10.9.8.7 = 5040 cara
Contoh:
Dalam
suatu showroom mobil terdapat dua jenis mobil yaitu sedan dan minibus. Sedan
berjumlah 3 buah dan minibus berjumlah 2 buah. Jika mobil-mobil tersebut akan
ditata berjajar, maka tentukan banyaknya cara menyusun mobil-mobil tersebut
jika mobil yang sejenis harus berdekatan!
Jawab:
· Karena mobil yang sejenis harus berdekatan, maka untuk jenis mobil
terdapat permutasi 2 jenis mobil akan menempati 2 tempat, sehingga terdapat
permutasi jenis mobil sejumlah:
2P2 =
= 2
· Untuk tiap jenis mobil sendiri terdapat permutasi. 3 buah sedan
akan menempati 3 tempat, sehingga terdapat permutasi sejumlah:
3P3
=
= 6
· Dua buah minibus akan menempati 2 tempat sehingga terdapat
permutasi sejumlah:
2P2 =
= 2
Berdasarkan
tiap kasus yang ada dan dengan menggunakan prinsip perkalian, maka banyaknya
cara menyusun mobil tersebut adalah:
2P2 x 3P3
x 2P2 = 2 x 6 x 2 = 24 cara
3)
Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
Jika kita
mempunyai 3 huruf yaitu A, K, dan U yang akan kita susun menjadi kata yang
terdiri dari 3 huruf, maka kata-kata yang dapat kita buat adalah:
AKU, AUK, KAU,
KUA, UAK, dan UKA
terdapat 6 kata
berbeda
Namun jika kita
mempunyai 3 huruf yaitu A, K, dan A yang akan kita susun menjadi kata yang
terdiri dari 3 huruf, maka kata-kata yang dapat kita buat adalah:
AKA, AAK, KAA
hanya terdapat
3 kata yang berbeda
Apa yang
menyebabkan adanya perbedaan jumlah kata yang dihasilkan dari dua kasus di
atas? Bukankah kedua kasus menyediakan jumlah huruf yang sama dan mengambil
jumlah huruf yang sama? Ternyata perbedaannya adalah terletak pada unsur-unsur
penyusunnya.
Pada kasus
pertama semua huruf yang disediakan berbeda, sedangkan pada kasus kedua terdapat
huruf yang sama dari huruf-huruf yang disediakan. Kasus kedua ini merupakan
kasus permutasi dengan beberapa unsur yang sama.
Jika terdapat n
unsur dengan k unsur yang masing-masing muncul n1, n2, n3,....,
nk kali, maka permutasi unsur itu adalah:
nP(n1,
n2, n3, ......, nk) =
dengan
n1+ n2+ n3+....+ nk = n
Contoh:
Tentukan
banyaknya susunan huruf berbeda yang dapat ditulis dari kata “JATIJAJAR”!
Jawab:
J = 3 huruf T
= 1 huruf R = 1 huruf
A = 3 huruf I =
1 huruf
9P(3, 3, 1, 1, 1) =
10.080
Jadi banyaknya
susunan huruf berbeda dari kata “JATIJAJAR”adalah 10.080 susunan.
4)
Permutasi siklis
Pada topik
sebelumnya dipelajari tentang permutasi dari unsur-unsur yang disusun sejara
berjajar dalam satu baris. Keadaannya akan berbeda jika unsur-unsur tersebut
disusun melingkar. Sebagai gambaran perhatikan dua kasus berikut ini:
·
Tiga
orang yaitu A, B, dan C akan duduk pada kursi yang ditata berjajar. Banyaknya kemungkinan
cara duduk adalah:
kemungkinan 1 kemungkinan 2 kemungkinan 3
A B C A C B BA
C
kemungkinan 4 kemungkinan 5 kemungkinan 6
B C A C A B C B A
Jadi ketiga
orang tersebut duduk ada 6 cara yaitu ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
·
Tiga
orang yaitu A, B, dan C akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Banyaknya
kemungkinan cara duduk adalah:
Kemungkinan 1.
A B C
B CC A C A B
Kemungkinan
2.
A B C
= =
C B A C B A
Dari ilustrasi di atas terlihat bahwa urutan duduk ABC, BAC, dan
CBA adalah urutan yang sama, artinya ketiganya dihitung sebagai satu cara
duduk. Demikian juga urutan duduk ACB, BAC, dan CBA adalah urutan duduk yang
sama. Sehingga banyaknya cara ketiga orang duduk melingkar ada 2 cara.
Dari dua
ilustrasi di atas terlihat bahwa posisi urutan sejajar dengan posisi urutan
melingkar dengan jumlah unsur sama mempunyai cara berbeda. Untuk kasus kedua
dikenal dengan nama permutasi siklis. Untuk mempermudah menentukan
elemen-elemen dalam permutasi siklis harus ditentukan salah satu unsur sebagai
patokan. Sedangkan banyaknya permutasi siklis secara umum dapat dituliskan:
Banyaknya permutasi siklis dari n unsur berbeda adalah:
nPS = (n – 1)! atau nPS =
Contoh:
Dalam sebuah
pelantikan Dewan Kerja Pramuka, ketua regu yang berjumlah 6 orang diminta duduk
mengelilingi api unggun. Tentukan banyaknya cara 6 orang tersebut duduk
mengelilingi api unggun!
Jawab:
Dalam
permasalahan ini tidak terdapat syarat dalam menempati tempat duduk sehingga
dalam menentukan banyaknya cara mereka duduk dapat langsung ditentukan yaitu:
Peserta yang
akan duduk n = 6, banyaknya permutasi
siklis adalah:
6PS = (6 – 1)!
= 5!
= 5 . 4 . 3 . 2 . 1
= 120
Contoh:
Tentukan
banyaknya cara empat orang akan duduk melingkar dengan ketentuan dua orang
selalu berdampingan!
Jawab:
Misal orang
yang akan duduk melingkar adalah A, B, C, dan D. Dua orang yang harus duduk
berdekatan adalah A dan B, sebagai patokan adalah A dan B. Kemungkinan mereka
akan duduk adalah:
kemungkinan 1 kemungkinan
2
A B
A B
D C C D
kemungkinan 1 kemungkinan 2
B A
B A
D C C D
Susunan mereka
duduk adalah: ABCD, ABDC, BACD, dan BADC
Selain dengan
ilustrasi di atas, banyaknya kemungkinan mereka duduk dapat ditentukan dengan
cara:
A dan B harus
berdekatan, berarti A dan B dianggap satu, sehingga terdapat permutasi siklis
dengan 3 unsur, sehingga didapat:
3PS = (3 – 1)! = 2! = 2
. 1 = 2
Namun karena A
dan B harus berdekatan, maka antara A dan B juga terjadi permutasi dari 2 unsur
diambil 2 unsur, sehingga didapat:
2P2 =
Berdasarkan
prinsip perkalian didapat:
n(S) = 3PS
x 2P2 = 2 x 2 = 4
Dengan demikian
banyaknya cara mereka duduk melingkar ada 4 cara.
c) Kombinasi
Misal dalam
pemilihan calon atlet bulutangkis terdapat 3 calon yaitu A, B, dan C yang akan
dipilih untuk dijadikan satu tim ganda. Pilihan yang mungkin dari ketiga orang
itu adalah: AB, AC, dan BC. Hal yang harus dicermati adalah bahwa tidak
terdapat pengulangan unsur dalam pilihan tersebut, dan yang lebih penting
lagi adalah pilihan AB dan BA adalah satu pilihan karena orang yang mewakili
adalah orang yang sama, demikian juga dengan AC dan CA serta BC dan CB. Dalam
kasus seperti ini urutan tidak diperhatikan, sehingga kejadian ini
bukanlah kejadian permutasi, kasus ini merupakan kasus kombinasi 2 unsur dari 3
unsur yang tersedia. Jadi dapat didefinisikan sebagai berikut:
Kombinasi merupakan suatu percobaan
yang elemen-elemen dalam ruang sampel tidak terdapat pengulangan unsur-unsurnya
serta urutan unsur-unsur tersebut tidak diperhatikan.
Jadi perbedaan
permasalahan kombinasi dan permutasi terletak pada tidak diperhatikannya urutan
tiap unsur pada elemen ruang sampel. Banyaknya kombinasi r unsur dari n unsur
yang tersedia dinotasikan dengan nCr.
Untuk
menentukan banyaknya kombinasi, ada baiknya kita perhatikan permisalan berikut:
·
Misal
terdapat 4 siswa berprestasi yaitu A, B, C, dan D. Jika akan dipilih 1 siswa
untuk mewakili seleksi siswa teladan tingkat kabupaten, maka pilihan yang
mungkin adalah:
S = {A, B, C, D} banyaknya pilihan adalah n(S) = 4.
Jadi banyaknya kombinasi 1 unsur dari 4 unsur yang tersedia adalah 4C1
= 4.
Permutasi
|
Kombinasi
|
A
|
A
|
B
|
B
|
C
|
C
|
D
|
D
|
Dari
tabel terlihat bahwa banyaknya pemutasi 1 unsur dari 4 unsur yang tersedia sama
dengan kombinasi 1 unsur dari 4 unsur yang ada.
4P1 =
4C1
·
Dari
4 siswa berprestasi yaitu A, B, C, dan D akan dipilih 2 siswa untuk mewakili
seleksi siswa teladan tingkat kabupaten, maka banyaknya pilihan yang mungkin
adalah:
S =
{AB, AC, AD, BC, BD, CD}, banyaknya pilihan adalah n(S) = 6.
Jadi
banyaknya kombinasi 2 unsur dari 4 unsur yang tersedia adalah 4C2
= 6.
Karena
permasalahan permutasi dan kombinasi hanya berbeda pada diperhatikan atau
tidaknya urutan pada tiap elemen, maka kita bandingkan keduanya dalam tabel
berikut:
Permutasi
|
Kombinasi
|
AB, BA
|
AB
|
AC, CA
|
AC
|
AD, DA
|
AD
|
BC, CB
|
BC
|
BD, DB
|
BD
|
CD, DC
|
CD
|
Setiap baris
menunjukkan bahwa banyaknya susunan permutasi yang terjadidianggap samaatau
dihitung satudalam susunan kombinasi. Pada kolom permutasi di setiap
baris terlihat bahwa susunannya merupakan permutasi 2 unsur dari 2 unsur
yang terdapat pada kolom kombinasi, sehingga banyaknya elemen tiap baris pada
kolom permutasi adalah:
2P2 =
= 2
Dengan demikian sesuai dengan tabel di atas, banyaknya permutasi 2
unsur dari 4 unsur yang tersedia adalah banyaknya kombinasi di kalikan 2, atau
dapat ditulis:
4P2 = 4C2
x 2
= 4C2
x 2!
Sehingga didapat:
4C2 x
2! =4P2
4C2 =
=
=
................ (1)
= 6
Dari 4 siswa berprestasi yaitu A, B, C, dan D akan dipilih 3 siswa
untuk mewakili seleksi siswa teladan tingkat kabupaten, maka banyaknya pilihan
yang mungkin adalah:
S =
{ABC, ABD, ACD, BCD}, banyaknya pilihan adalah n(S) = 4.
Jadi
banyaknya kombinasi 3 unsur dari 4 unsur yang tersedia adalah 4C3
= 4.
Permutasi
|
Kombinasi
|
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
|
ABC
|
ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA
|
ABD
|
ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA
|
ACD
|
BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB
|
BCD
|
Dari
tabel di atas terlihat bahwa banyaknya elemen tiap baris pada kolom
permutasi adalah permutasi 3 unsur dari 3 unsur yang terdapat pada kolom
kombinasi:
3P3 =
= 6
Dalam
tabel terlihat bahwa banyaknya permutasi 3 unsur dari 4 unsur yang tersedia
adalah banyaknya kombinasi dikalikan 3!, jadi kita dapatkan:
4P3 = 4C3 x 3!
atau ditulis:
4C3 x
3! = 4P3
4C3 =
=
=
................ (2)
= 4
· Dari 4 siswa berprestasi yaitu A, B, C, dan D akan dipilih 4 siswa
untuk mewakili seleksi siswa teladan tingkat kabupaten, maka banyaknya pilihan
yang mungkin adalah:
S = {ABCD}, banyaknya pilihan adalah n(S) = 1.
Jadi banyaknya kombinasi 4 unsur dari 4 unsur yang tersedia adalah 4C4
= 1
Permutasi
|
Kombinasi
|
ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC,
ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA,
DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA
|
ABCD
|
Banyaknya
elemen tiap baris pada kolom permutasi adalah permutasi 4 unsur dari 4
unsur yang terdapat pada kolom kombinasi:
4P4 =
= 24
Dalam
tabel ditunjukkan bahwa banyaknya permutasi 4 unsur dari unsur yang tersedia adalah banyaknya
kombinasi 4 unsur dari 4 unsur yang tersedia dikalikan dengan 4!
4P4 = 4C4 x 4!
atau ditulis:
4C4 x
4! = 4P4
4C4 =
=
=
................ (3)
= 4
Secara
umum dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat disimpulkan bahwa:
Banyaknya
kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia dengan r ≤ n adalah:
nCr =
atau
nCr =
Contoh:
Dalam suatu
kantong terdapat 9 kelereng merah. Dari dalam kantong diambil 4 buah kelereng
sekaligus. Tentukan banyaknya cara pengambilan kelereng tersebut!
Jawab:
Soal seperti ini
merupakan permasalahan kombinasi karena urutan terambilnya kelereng tidak
mempengaruhi banyaknya pengambilan kelereng.
n = 9, r = 4,
maka
9C4
=
= 126
Jadi banyaknya
cara pengambilan 4 kelereng dari dalam kantong adalah 126 cara.
Contoh:
Sebuah perusahaan garmen membutuhkan 3 karyawan dan 4
karyawati baru. Jika terdapat 8 pelamar pria dan 6 pelamar wanita, maka
tentukan banyaknya cara penerimaan pegawai baru di perusahaan tersebut!
Jawab:
Soal ini merupakan permasalahan kombinasi karena urutan
karyawan yang diterima tidak diperhatikan.
Dari 8 pelamar pria akan diambil 3 orang.
8C3
=
= 56 cara
Dari 6 pelamar wanita akan diambil 4 orang.
6C4
=
= 15 cara
Sesuai dengan
prinsip perkalian, maka banyaknya cara penerimaan pegawai tersebut adalah:
8C3 x 6C4
= 56 x 15 = 840 cara
B. Peluang
Suatu Kejadian
1.
Peluang
Pada percobaan
melambungkan sebuah mata uang logam, diperoleh kemungkinan sisi mata uang yang
muncul adalah sisi angka (A) dan sisi gambar (G), ruang sampel pada percobaan
tersebut adalah S = {A, G}. A dan G disebut juga dengan titik sampel. A dan G mempunyai kesempatan sama untuk
muncul dalam setiap percobaan, sehingga peluang munculnya sisi gambar dari
percobaan tersebut adalah P(G)
= ½ , demikian juga dengan peluang munculnya sisi angka pada percobaan
tersebut, P(A) = ½.
Dengan demikian
peluang dapat didefinisikan sebagai berikut:
Peluang suatu kejadian K dari ruang
sampel S adalah perbandingan antara banyaknya kemungkinan munculnya K dengan
banyaknya ruang sampel, atau dapat dirumuskan:
P(K)
=
P(K) = peluang terjadinya kejadian K
n(K) = banyaknya anggota K
n(S) = banyaknya ruang sampel
Contoh:
Pada percobaan
melambungkan sebuah mata dadu, tentukan peluang munculnya mata dadu prima!
Jawab:
Mata dadu
prima P = {2, 3, 5}, n(P) = 3
Ruang sampel S =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
Peluang muncul
mata dadu prima:
P(P) =
= ½
Jadi peluang
muncul mata dadu prima adalah ½.
Contoh:
Sepasang suami
istri merencanakan untuk mempunyai 3 anak. Tentukan peluang lahirnya kedua
anaknya laki-laki!
Jawab:
Kemungkinan
Jenis kelamin ketiga anaknya hanya terdiri dari 2 jenis yaitu laki-laki (L) dan
perempuan (P). Banyaknya ruang sampel n(S) dapat ditentukan dengan aturan filling
slotdimana terdapat 3 slot (sesuai jumlah anak) dan tiap slot diisi 2
(sesuai jumlah jenis kelamin).
anak ke-1 anak ke-2 anak ke-3
n(S) = 2 x 2 x
2 =
8
kejadian dua
anak laki-laki L = {LLP, LPL, PLL} sehingga n(L) = 3
P(L) =
Jadi peluang
lahir kedua anaknya laki laki adalah 3/8.
2. Kisaran
nilai peluang
Misalnya
dalam sebuah kotak terdapat kartu yang diberi nomor 1 sampai 10. Dari dalam
kotak diambil sebuah kartu secara acak. Tentukan peluang terambilnya kartu
dengan nomor bilangan asli! Untuk menjawab pertanyaan ini terlebih dahulu kita
hitung banyaknya kartu yang bernomor bilangan asli (A). A = {1, 2, 3, ......,
10}, jadi n(A) = 10, dan n(S) = 10, maka peluang terambilnya kartu bernomor
bilangan asli dari percobaan tersebut adalah P(A) = 10/10=
1. Ini artinya bahwa setiap kartu yang kita ambil adalah kartu bernomor
bilangan asli. Kejadian yang selalu terjadi dalam setiap percobaan dinamakan
dengan kepastian.
Jika
pada permisalan diatas ditanyakan peluang terambilnya kartu bernomor negatif,
maka jawabannya adalah 0, karena didalam kotak tersebut tidak ada kartu
bernomor negatif. Kejadian ini dinamakan kemustahilan, artinya suatu
kejadian tidak mempunyai peluang untuk terjadi.
Dengan
demikian nilai peluang suatu kejadian K adalah:
0
≤ P(K) ≤ 1
Interval
inilah yang dinamakan dengan kisaran nilai peluang.
3. Frekuensi
harapan suatu kejadian
Jika kita
melemparkan mata uang logam sebanyak 20 kali, maka berapa kalikah akan muncul
sisi gambar? Tentu kita tidak tahu secara pasti, namun kita dapat
memperkirakannya yaitu sekitar 10 kali, karena peluang munculnya sisi gambar
adalah ½ dan percobaan dilakukan 20 kali sehingga diperkirakan sisi gambar akan
muncul ½ x 20 = 10, walaupun tidak tepat muncul 10 kali namun munculnya tidak
jauh dari 10 kali. Inilah yang dinamakan frekuensi harapan dalam
peluang.
Frekuensi harapan terjadinya kejadian K
yang dinotasikan dengan Fh(K) pada percobaan yang dilakukan sebanyak n kali
dapat dirumuskan:
Fh(K) = P(K) x n
dengan P(K) adalah peluang kejadian K
Contoh:
Peluang seorang
perokok terkena TBC adalah 0,64. Tentukan banyaknya perokok yang terkena TBC di
suatu desa yang jumlah perokoknya 250.
Jawab:
Peluang terkena
TBC P(TBC) = 0,64, n = 250
Fh (TBC) = P(TBC) x n
= 0,64 x 250
= 160
4.
Kejadian Majemuk
a)
Kejadian komplementer
Komplemen suatu
kejadian K dalam ruang sampel S adalah kejadian dalam ruang sampel S yang tidak
memuat titik sampel K. Suatu kejadian apabila K tidak terjadi atau komplemen
dari kejadian K dinotasikan dengan Kc atau K’.
S
|
Kc
K
Pada gambar
diatas berlaku:
K È
Kc = S
n(K) + n(Kc)
= n(S)
= n(S)n(S)
+ n(Kc)n(S) = 1
P(K) + P(Kc)
= 1
Jadi dapat
disimpulkan:
P(Kc)
= 1 – P(K)
Contoh:
Tiga buah mata
uang logam dilambungkan bersama. Tentukan peluang muncul ketiganya tidak
kembar!
Jawab:
Banyaknya ruang
sampel pada percobaan melambungkan 3 buah mata uang logam adalah: n(S) = 2 x 2
x 2 = 8
Misal:
K adalah
kejadian ketiganya kembar, K = {AAA, GGG},
n(K) = 2,
Peluang
ketiganya kembar adalah:
P(K) = n(K)n(S)
= 28= 14
Kc
adalah kejadian ketiganya tidak kembar, maka:
P(Kc) = 1 –
P(K)
= 1 – ¼
= ¾
Jadi peluang muncul ketiganya tidak kembar
adalah ¾.
S
|
·
AAA ·
AGA ·
GAA
·
GGG ·
GGA ·
GAG
K
·
AGG
b)
Dua kejadian saling
lepas
Misal S adalah
ruang sampel dari suautu percobaan, A dan B adalah kejadian dari percobaan
tersebut. Kejadian tunggal yang mengaitkan kejadian A dan B adalah:
· Kejadian
munculnya “A atau B” atau ditulis “A È
B”.
· Kejadian
munculnya “A dan B” atau ditulis “A Ç
B”.
Kejadian
A dan B disebut saling lepas jika kejadian tersebut tidak mungkin
terjadi secara bersamaan. Jika digambarkan dengan diagram Venn adalah sebagai
berikut:
S
|
A B
Dari gambar
terlihat bahwa A Ç B = Æ karena A dan B tidak mempunyai elemen
persekutuan.
Dengan demikian
banyaknya kejadian “A atau B” adalah:
n(A È
B) = n(A) + n(B)
dan banyaknya
kejadian “A dan B” adalah:
n(A Ç
B) = 0
Lalu
bagaimanakah cara menentukan peluang dua buah kejadian yang saling lepas dalam
ruang sampel? Perhatikan permisalan berikut:
Misal A dan B
adalah dua kejadian yang saling lepas pada suatu percobaan dengan ruang sampel
S. Berdasarkan diagram Venn diatas, daerah yang diarsir merupakan daerah A È
B dan A Ç B = Æ,
maka didapat:
n(A È B) = n(A) + n(B)
Û n(A∪B)n(S) =
n(A)
+ n(B)n(S)
Û n(A∪B)n(S) =
n(A∪B)n(S)
Û P(A
È
B) =
P(A) + P(B)
Jadi dapat
disimpulkan bahwa:
Untuk kejadian A dan B dalam ruang
sampel S, jika kejadian A dan B saling lepas, maka pelung kejadian gabungan “A
atau B” adalah:
P(A È
B) =
P(A) + P(B)
Contoh:
Dalam sebuah
kotak terdapat 5 kartu yang diberi nomor 1 sampai 5 dan 4 kartu yang diberi
huruf A sampai D. Jika dari dalam kotak diambil sebuah kartu secara acak,
tentukan peluang terambilnya kartu tersebut adalah kartu bernomor ganjil atau
kartu huruf.
Jawab:
Dalam kotak
terdapat 5 kartu angka dan 4 kartu huruf. S = {1, 2, 3 ,4, 5, A, B, C, D} dan
n(S) = 9.
Kartu bernomor
ganjil G = {1, 3, 5}, n(G) = 3.
Kartu huruf H = {A, B, C, D}, n(H) = 4.
Terlihat bahwa
antara G dan H tidak terdapat elemen persekutuan, atau GÇH
= Æ,
sehingga kejadian tersebut adalah kejadian yang saling lepas.
Peluang kartu
yang terambil adalah kartu bernomor ganjil atau kartu huruf adalah:
P(G È
H) = P(G) + P(H)
=n(G)n(S)
+ n(H)n(S)
= 39 + 49
= 79
Jadi peluang
kartu yang terambil adalah kartu bernomor ganjil atau kartu huruf adalah 7/9.
c)
Dua kejadian tidak
saling lepas
Misal A dan B
adalah kejadian dalam ruang sampel S, jika A dan B adalah kejadian yang tidak
saling lepas, maka A dan B mempunyai elemen persekutuan. Jika digambar dengan
diagram Venn adalah sebagai berikut:
S
|
AÇB
A B
Terlihat
bahwa A Ç
B ≠ Æ.
Untuk menentukan
peluang dari gabungan kejadian yang tidak saling lepas kita gunakan teori
himpunan sebagai berikut:
n(A È B) =
n(A) + n(B) – n(A Ç B)
Ûn(A∪B)n(S) = nA+nB-n(A∩B)n(S)
Ûn(A∪B)n(S) = n(A∪B)n(S)
Û P(A È
B) = P(A) + P(B) – P(A Ç
B)
Dengan demikian
dapat disimpulkan:
Jika A dan B adalah kejadian dalam
ruang sampel S dengan A dan B adalah kejadian tidak saling lepas, maka peluang
gabungan kejadian “A atau B” adalah:
P(A
È
B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)
Contoh:
Sebuah dadu
dilambungkan satu kali. Tentukan peluang munculnya mata dadu prima atau ganjil!
Jawab:
· Cara
1
Sebuah dadu dilambungkan sekali, S = {1,
2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
Kejadian muncul mata dadu prima adalah P
= {2, 3, 5}, n(P) = 3
Kejadian muncul mata dadu ganjil adalah
G = {1, 3, 5}, n(G) = 3
P dan G memiliki elemen persekutuan,
sehingga P dan G tidak saling lepas.
P Ç
G = {3, 5}, n(P Ç
G) = 2
Peluang munculnya mata dadu prima atau
ganjil adalah:
P(PÈG)
= P(P) + P(G) – P(PÇG)
=
= 36
+ 36 - 26
= 23
· Cara
2
Sebuah
dadu dilambungkan sekali, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
Kejadian muncul mata dadu prima adalah P = {2, 3,
5}, n(P) = 3
Kejadian
muncul mata dadu ganjil adalah G = {1, 3, 5},
n(G) = 3
Kejadian
muncul mata dadu prima atau mata dadu ganjil adalah:
P È G = {1, 2, 3,
5}, n(P È
G) = 4
Sehingga
didapat:
P(P È
G) = n(P
È G)n(S)
= 46
= 23
Jadi
peluang munculnya mata dadu prima atau ganjil adalah 2/3.
d)
Kejadian saling lepas
Misal diadakan
suatu percobaan pelemparan sebuah mata uang logam dan sebuah mata dadu
bersama-sama, apakah peluang munculnya titik sampel mata uang dapat
mempengaruhi peluang munculnya titik sampel mata dadu? Demikian juga
sebaliknya, apakah peluang munculnya titik sampel mata dadu dapat mempengaruhi
peluang munculnya titik sampel mata uang logam? Tentu saja tidak. Dua kejadian
seperti ini dinamakan kejadian saling bebas. Jadi kejadian saling bebas dapat
didefinisikan sebagai berikut:
Jika A dan B adalah dua
kejadian dalam ruang sampel S, kejadian A tidak mempengaruhi peluang kejadian B
demikian juga sebaliknya, maka dua kejadian tersebut dinamakan kejadian saling
bebas.Peluang kejadian “A dan B” adalah:
P(A
Ç
B) = P(A) x P(B)
Contoh:
Sebuah dadu dan
sebuah mata uang logam dilempar bersama-sama. Tentukan peluang munculnya mata
dadu bernomor ganjil dan uang logam bersisi Gambar!
Jawab:
Kejadian ini
adalah kejadian saling bebas karena peluang mata uang logam tidak mempengaruhi
peluang mata dadu, demikian pula sebaliknya.
· Cara
1
Ruang sampel pada percobaan tersebut
adalah:
Mata Dadu
|
Mata
Uang Logam
|
||
A
|
G
|
||
1
|
1
A
|
1 G
|
|
2
|
2
A
|
2 G
|
|
3
|
3
A
|
3 G
|
|
4
|
4
A
|
4 G
|
|
5
|
5
A
|
5 G
|
|
6
|
6
A
|
6 G
|
|
S = {1A, 1G, 2A, 2G,
3A, 3G, 4A, 4G, 5A, 5G, 6A, 6G}, n(S) =
12
Mata dadu bernomor
ganjil (J) dan uang bersisi gambar (G) dinotasikan dengan J Ç
G = {1G, 3G, 5G}, dan n(J Ç
G) = 3.
P(J
Ç
G) =
nJ Ç GnS
=
= ¼
· Cara
2
Ruang sampel mata dadu S1 =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S1) = 6
Kejadian mata dadu ganjil J = {1, 3,
5}, n(J) = 3
Ruang sampel mata uang logam S2
= {A, G}, n(S2) = 2
Kejadian mata uang logam gambar G =
{G}, n(G) = 1
Karena keduanya adalah kejadian saling
bebas, maka langsung kita gunakan rumus:
P(J Ç
G) = P(J) x P(G)
= n(J)n(S1) x n(G)n(S2)
= 36 x 12
= ¼
Jadi
pada percobaan diatas, peluang munculnya mata dadu bernomor ganjil dan uang
logam bersisi gambar adalah ¼.
UJI KOMPETENSI 12
Indikator
Soal 1:Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kaidah pencacahan,
permutasi, atau kombinasi
1.
Banyaknya bilangan ribuan ganjil yang dapat disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 adalah....
A.
80
B.
120
C.
240
D.
480
E.
520
2.
Jalur transportasi dari kota A menuju kota B terdapat 3 jalur,
sedangkan jalur transportasi dari B menuju C terdapat 2 jalur. Banyaknya jalur
yang dapat dipilih seseorang dari kota A menuju C kemudian kembali lagi ke A
adalah ....
A.
36
B.
24
C.
18
D.
12
E.
6
3.
Dalam pemilihan pengurus sebuah organisasi terdapat 5 calon yang
akan menduduki jabatan ketua, bendahara, dan sekretaris. Banyaknya cara
pemilihan pengurus organisasi tersebut adalah ....
A.
15 cara
B.
20
cara
C.
30 cara
D.
60 cara
E.
120 cara
4.
Peserta
Try Out SNMPTN 2011 yang terdiri dari 3 anak jurusan IPA, 2 anak jurusan IPS,
dan 3anak jurusan Bahasa akan menempati kursi yang ditata sejajar. Banyaknya
cara mereka duduk jika anak yang jurusannya sama harus berdampingan/tidak boleh
terpisah adalah ....
A.
432
B.
144
C.
72
D.
54
E.
18
5.
Seorang
siswa diminta untuk mengerjakan 8 dari 10 soal. Dengan ketentuan soal nomor
ganjil wajib dikerjakan. Banyak pemilihan soal yang dapat dilakukan siswa
adalah ....
A.
8
B.
10
C.
28
D.
48
E.
80
6.
Banyaknya susunan huruf yang dapat disusun dari huruf KAKIKATAK
adalah .... buah kata.
A.
10080
B.
5400
C.
5040
D.
3360
E.
2520
7.
Sebuah permainan diikuti oleh 6 anak. 5 anak duduk melingkar, dan
satu orang anak yang kalah mendapat hukuman harus berdiri diluar lingkaran. Banyaknya
cara 5 anak duduk dan seorang anak berdiri adalah ....
A.
360
B.
180
C.
144
D.
120
E.
24
8.
Dalam suatu rapat pengurus OSIS dihadiri 16 siswa. Pada akhir
acara mereka saling berjabat tangan.
Banyaknya jabat tangan yang terjadi pada acara tersebut adalah ....
A.
16
B.
32
C.
60
D.
120
E.
240
9.
Dari sekelompok siswa berprestasi yang terdiri dari 9 putra dan 7
putri akan dipilih 2 putra dan 3 putri untuk mewakili sekolah dalam seleksi di
kabupaten, maka banyaknya cara memilih ada ....
A.
1206 cara
B.
1216 cara
C.
1260
cara
D.
1280 cara
E.
2160 cara
10. Dalam satu kantong terdapat 5 kelereng merah, 7 kelereng putih dan
3 kelereng biru. Dari kantong tersebut diambil 4 kelereng sekaligus secara
acak, banyak cara pengambilan 2 kelereng merah, 1 kelereng putih dan 1 kelereng biru adalah …. cara.
A.
10
B.
30
C.
210
D.
420
E.
1365
Indikator
Soal 2:Menentukan frekuensi harapan suatu kejadian
1.
Sebuah dadu dilempar
sebanyak 180 kali, frekuensi harapan muncul angka 2 atau 5 adalah ....kali
A.
90
B.
60
C.
30
D.
15
E.
5
2. Dua buah mata uang logam di lemparkan sebanyak 128
kali. Frekuensi harapan munculnya kedua mata uang tersebut kembar adalah ....
A. 96 kali
B. 80 kali
C. 64 kali
D. 48 kali
E. 32 kali
3. Empat keping mata uang logam dengan sisi angka (A) dan gambar
(G) di lemparkan sekaligus sebanyak 160 kali. Frekuensi harapan munculnya 2
angka dan 2 gambar adalah ....
A.
72 kali
B.
60
kali
C. 40 kali
D. 30 kali
E. 20 kali
4. Dua buah dadu dilemparkan sebanyak 3600 kali. Frekuensi
harapan munculnya kedua dadu tersebut kembar adalah .... kali.
A.
200
B.
400
C. 600
D. 1200
E. 2400
5.
Dua
dadu dilempar sekaligus sebanyak 360 kali, berapa frekuensi harapan munculnya jumlah
mata dadu habis dibagi 5 ….
A.
70
kali
B.
54
kali
C.
30
kali
D.
24
kali
E.
18
kali
6.
Dua
buah dadu dilemparkan sekaligus sebanyak 1800 kali. Frekuensi harapan munculnya
kedua mata dadu berjumlah lebih dari 3 adalah ....
A.
150
B.
450
C.
900
D.
1450
E.
1650
7. Sebuah mata uang logam dan sebuah dadu dilemparkan
sebanyak 240 kali, frekuensi harapan munculnya sisi angka pada mata uang dan
angka ganjil pada mata uang adalah ....
A.
24
B.
36
C.
60
D.
90
E.
120
8. Dua buah dadu di lemparkan sebanyak 360 kali. Frekuensi
harapan munculnya kedua dadu tersebut prima adalah ....kali.
A.
20
B.
40
C. 60
D. 90
E. 12
9. Dalam sebuah kantong terdapat 2 kelereng merah, 5
kelereng biru, dan 3 kelereng hijau. Dari dalam kantong diambil dua buah
kelereng sekaligus secara acak kemudian dikembalikan lagi. Pengambilan itu
diulangi sebanyak 450 kali. Frekuensi harapan terambilnya satu kelereng merah
dan satu kelereng biru adalah ....
A.
90
B.
100
C.
250
D.
300
E.
350
10.
Dalam
sebuah kotak terdapat 10 kartu yang diberi huruf A sampai dengan J. Dari dalam
kotak diambil sebuah kartu secara acak kemudian dikembalikan lagi. Jika
pengambilan kartu ini diulangi sampai 50 kali, maka frekuensi harapan
terambilnya kartu dengan huruf vokal adalah ....
A.
5
B.
10
C.
15
D.
20
E.
35
Indikator Soal 3:Menentukan peluang suatu kejadian
1.
Dua
dadu dilambungkan bersama-sama. Peluang muncul mata dadu pertama 3 dan mata
dadu kedua 5 adalah ….
a.
b.
c.
d.
e.
2.
Dua dadu dilambungkan bersama-sama. Peluang muncul mata dadu
pertama 2 dan mata dadu kedua prima adalah …
.
A.
B.
C.
D.
E.
3.
Dalam satu kotak terdapat 5 bola merah 4 bola biru, dan 3 bola
putih. Dari dalam kotak diambil sebuah bola. Peluang terambilnya bola tersebut
berwarna biru atau putih adalah ....
A.
9/12
B.
8/12
C.
7/12
D.
6/12
E.
5/12
4.
Dalam satu kotak terdapat 5 bola merah 4 bola biru, dan 3 bola
putih. Dari dalam kotak akan diambil sebuah bola. Peluang terambilnya bola tersebut
berwarna biru adalah ....
A.
½
B.
1/3
C.
¼
D.
1/12
E.
1/6
5.
Pengurus OSIS terdiri dari 4 anak laki-laki dan 6 anak perempuan.
Jika akan dipilih pengurus OSIS untuk menduduki jabatan ketua, sekretaris, dan
bendahara, maka peluang seluruh jabatan di jabat oleh anak laki-laki adalah
......
A.
1/30
B.
2/30
C.
3/30
D.
4/30
E.
5/30
6.
Didalam kotak I terdapat 5 bola merah dan 5 bola putih, sedangkan
didalam kotak II terdapat 4 bola merah dan 6 bola putih. Jika dari 2 kotak
tersebut diambil masing-masing satu bola secara acak, maka peluang yang
terambil kedua bola berwarna merah adalah ....
A. 0,1
B. 0,2
C. 0,3
D. 0,5
E. 0,9
7.
Di dalam sebuah kotak terdapat 10 kartu yang diberi nomor 1 sampai
10. Dari dalam kotak diambil sebuah kartu, kemudian diambil lagi sebuah kartu
(kartu pertama tidak dikembalikan ke dalam kotak). Peluang terambilnya kartu
pertama ganjil dan kartu kedua genap adalah ......
A.
B.
C.
D.
E.
8.
Dalam sebuah kotak
terdapat 10 buah kartu yang diberi nomor 1 sampai 10. Dari dalam kotak diambil
dua buah kartu secara berurutan tanpa pengembalian. Peluang yang terambil kartu
pertama genap dan kartu kedua ganjil adalah . ...
A. 25/100
B. 25/90
C. 20/90
D. 16/90
E. 15/90
9.
Dalam sebuah kotak
terdapat 5 kelereng merah dan 6 kelereng putih, jika diambil 2 bola sekaligus.
Peluang yang terambil kedua kelereng
berbeda warna adalah …
A.
B.
C.
D.
E.
10. Peluang Ali lulus UN adalah 0,4, sedangkan peluang
Bahrul lulus hanya 0,15. Peluang Ali tidak lulus tetapi Bahrul lulus adalah
......
A.
0,06
B.
0,09
C.
0,45
D.
0,54
E.
0,75
0 komentar:
Posting Komentar