A.
Pengertian
Matriks dan Ordo Suatu Matriks
Matriks
adalah susunan unsur-unsur (bilangan dan huruf) yang berbentuk persegi panjang
diatur dalam baris dan kolom, yang ditulis diantara kurung “( )” atau “[
]’.
atau
1.
Matriks
identitas ( I )
Adalah matriks diagonal
yang elemen-elemen pada diagonal utama sama dengan 1.
Misal
: I =
; I =
2.
Transpose
Suatu Matriks
Transpose
matriks A ditulis dengan A
atau A
, yaitu matriks baru (A
) yang diperoleh dengan cara mengubah elemen-elemen
baris ke-i pada matriks lama (A) menjadi elemen-elemen kolom ke-i pada matriks
baru (A
) atau sebaliknya.
Contoh 1:
Matriks
berikut, tentukan transposenya.
a.
A =
b.
B =
Pembahasan:
a.
A
=
b.
B
=
3.
Kesamaan
Dua Matriks
Dua
matriks A dan B dikatakan sama, jika dan hanya jika
1) Ordonya
sama
2) Elemen
yang seletak sama
|
|
Atau
Contoh 2:
Diketahui
: A =
, B =
Tentukan
nilai x, y, z jika A = B
Pembahasan:
x
= 8 y + z
= 4
5z
= 10
z = 2 y
+ 2 = 4
y = 2
Jadi,
nilai-nilai x, y dan z berturut-turut adalah 8, 2, 2.
A.
Operasi pada Matriks
1. Penjumlahan Matriks
Jika A dan B dua
matriks berordo sama, maka jumlah matriks A dan matriks B ditulis A + B adalah
matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan elemen-elemen matriks B yang
seletak.
A
+ B
= (a
+ b
) untuk setiap i dan j dengan
i = 1, 2, 3, ......, p j = 1, 2, 3, .......,
q
Contoh
3:
1.
+
=
=
2.
Diketahui : A =
, B =
, tentukan A + B!
Pembahasan: A + B =
+
=
2.
Lawan
Suatu Matriks
Lawan suatu matriks A
ditulis – A, yaitu suatu matriks yang ordonya sama dengan ordo matriks Aa
tetapi elemen-elemen yang seletak berlawanan.
Contoh
4
Tentukan lawan dari
matriks:
a. A =
b.
B =
= - A =
b.
Lawan B = - B =
|
Sifat-sifat penjumlahan
pada matriks:
|
- Pengurangan Matriks
Jika A dan B dua
matriks yang berordo sama, maka pengurangan matriks A dengan matriks B (ditulis
A – B) adalah matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan A dengan lawan
(negatif) dari matriks B atau A = A + (- B)
|
Pembahasan:
=
+
=
Atau
A – B =
-
=
=
|
- Perkalian Bilangan Real dengan Matriks
Perkalian
bilangan real k dengan matriks A berordo m x n dinyatakan dengan kA adalah
suatu matrik baru berordo m x n yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen
A dengan k. Bilangan real k sering dinyatakan dengan skalar k dan perkalian
bilangan real k dengan matriks A disebut perkalian
skalar.
|
Jika
k adalah bilangan real dan matriks A =
, maka
k A = A k = k
=
|
Contoh
6:
Diketahui matriks A =
tentukan:
a. 3A b. –
A
Pembahasan:
a. 3A = 3
=
b.
–
A = -
=
Sifat-sifat
Perkalian Skalar
Matriks
1.
kA = Ak
2.
k (A + B) = kA + kB
3.
(k + k) A = kA + kA
4.
(k (k . A) = (k . k) A
= k k A
5.
1A= A
6.
-1A = -A
- Perkalian Matriks
Syarat dua buah matriks
dapat dikalikan jika banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak baris
natriks kedua.
|
A
|
|
B
|
|
C
|
|
=
|
|
p
|
|
q
|
|
q
|
|
r
|
|
x
|
|
x
|
|
p
|
|
r
|
|
x
|
|
ordo hasil
|
|
sama
|
Matriks
A
bisa dikalikan
matriks B
sedangkan
matriks hasil perkaliannya berordo p x r. Untuk mencari hasil kali matriks A
dengan matriks B ialah dengan mengalikan elemen-elemen baris matriks A dengan
elemen-elemen kolom matriks B dan kemudian dijumlahkan hasil perkalian antara
baris dan kolom tersebut.
Misal:
1. (2 3 1)
= (5000+ 9000+
1750) = (15.750)
2.
=
=
=
|
Perkalian antar matriks pada umumnya
tidak bersifat komutatif . (A.B BA)
|
B.
Invers
Matriks
1. Determinan Matriks
Persegi
a.
Determinan
Matriks Ordo 2 x 2
Diketahui
matriks A =
Nilai
determinan matriks A dapat dinyatakan dan dapat ditentukan dengan:
= ad - bc
Contoh 7:
Tentukan
determinan dari matriks berikut:
a.
b.
c.
Pembahasan:
a.
= 2 . 4 – 3 ( -1 ) = 8 + 3 = 11
b.
= 2 . 3 – 5 . 1
= 6 - 5 = 1
c.
= 3 . 4 – 2 . 6 = 12 – 12 = 0
b.
Determinan
Matriks Ordo 3 x 3
Determinan matriks A =
dapat ditentukan dengan
=
+ + +
= aei + bfg + cdh + ceg
+ afh + bdi = ........
Contoh
8:
Tentukan determinan
dari
Pembahasan
=
= 1. 1. 4 + 2. 3 . 0 =
(-1)(-3)(-2) – (-1). 1. 0 – 1 . 3 (-2) – 2 (-3). 4
= 4 + 0 – 6 – 0 = 6 24
= 28
2.
Invers
Matriks Ordo 2 x 2
Jika matriks A dan B
adalah matriks persegi dengan ordo sama sedangkan 1 matriks identitas berlaku
hubungan AB = BA = 1, berarti:
B adalah invers A
dilambangkan B = A
A adalah invers b
dilambangkan A= B
Misal: A =
B
=
A
. B =
=
=
= 1
B
. A =
=
=
= 1
|
Invers matriks A =
= 1 adalah A
=
|
Jika determinan sebuah
matriks adalah 0 (nol) maka matriks tersebut tidak
mempunyai invers dan
disebut matriks singular. Sedangkan
matriks yang mempunyai invers (determinan tidak 0) disebut matriks nonsingular.
Contoh
9:
Selidikilah matriks
berikut mempunyai invers atau tidak dan jika mempunyai invers, maka tentukan
inversnya.
a. A =
b.
B =
c. C
=
Pembahasan:
a.
A =
= 16 – 16 = 0
Karena determinannya
nol maka matriks A disebut matriks singular dan tidak mempunyai invers.
b.
B =
= 10 – 9 = 1
Karena determinannya
tidak sama dengan nol maka matriks B disebut matriks non singular dan mempunyai
invers.
B
=
=
c.
C =
= 12 – 14 = -2
C
=
=
Contoh 10
Diketahui
matriks P =
dan Q =
. Jika P
adalah invers
matriks P dan Q
adalah invers
matriks Q, maka determinan matriks P
. Q
adalah ....
Pembahasan:
=
=
C.
Pembahasan
Persamaan Matriks
|
X .
A = B
X
. AA
= B . A
X .
I = B . A
|
|
A
. X = B
A
. A . X =
. B
I .
X = A
. B
|
|
X = A
. B
|
|
X = B . A
|
Contoh 12:
Diketahui
A =
dan B =
, tentukan matriks X jika :
a.
AX = B b.
XA = B
Pembahasan:
|
b. X A = B
X = B A
X =
=
|
|
a. X = B
X = A
B
X =
=
|
E. Pemakaian Matriks unuk
Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier
Misal diketahui persamaan linier
x
– y = 4
2x
+ y = 5
Sistem
persamaan tersebut dapat ditulis dengan persamaan matriks sebagai :
=
Maka
persamaan tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut:
=
=
Jadi,
HP : { (3, - 1) }
UJI KOMPETENSI
8
Indikator soal1 : Menentukan invers matriks
1.
Diketahui matriks
.
Invers dari matriks A adalah
A.
B.
C.
D.
E.
2.
Diketahui matriks
dan
.
Jika matriks C = A – 3B, maka invers matriks C adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Jika matriks
,
,
dan X = BC, maka invers matriks X = ….
A.
B.
C.
D.
E.
3.
Diketahui matriks
dan
.
Invers matriks AB adalah
= ….
A.
B.
C.
D.
E.
4.
Invers matriks
adalah
= ….
A.
B.
C.
D.
E.
5.
Jika
maka
= ….
A.
B.
fat
C.
D.
emi,dias,anis
E.
6.
Diketahui operasi matriks sebagai berikut:
Jika
adalah invers dari matriks M maka
= ….
A.
B.
C.
D.
E.
7.
Invers matriks
adalah
= ….
A.
B.
C.
D.
E.
8. Diketahui
matriks
. Jika AT adalah transpose dari matriks
A dan A-1 invers dari matriks A maka ATA-1 =
….
A.
B.
C.
D.
E.
9. Diketahui
matriks
dan
. Matriks (PQ)-1 = ….
A.
B.
C.
D.
E.
Indikator
soal 2: Menentukan operasi unsur yang belum diketahui dari
kesamaan matriks
1. Diketahui
,
nilai a + b + c = ….
A.
B. 12
C. 13
D. 14
E. 16
2. Diketahui
.
Nilai x + 2y = ….
A. 2
B. 5
C. 6
D. 7
E. 9
3. Diketahui
.
Nilai y – x = ….
A.
B.
1
C.
D. 9
E. 11
4. Diketahui matriks
,
dan
.
Jika 3A – B = C, maka 2x + y = ….
A.
B.
C.
1
D. 2
E. 3
5. Diketahui matriks
,
dan
.
Jika 2A – B = C maka nilai a + b = ….
A.
B. – 1
C. 1
D. 2
E. 3
6. Diketahui matriks
.
Nilai x adalah ….
A.
B. 6
C. 4
D. -6
E. -12
7. Diketahui matriks
,
dan
.
Jika AB = C, nilai p = ….
A.
B.
C.
D.
E. 6
8. Jika diketahui
maka nilai x + y = ….
- 3
- 2
- 1
- –1
- – 2
9. Diketahui matriks
dan
. Jika A + BT = C maka nilai 3x – y
adalah ….
A.
9
B.
6
C.
4
D.
– 1
E.
–2
10. Diketahuimatriks
, dan
. Jika K – 3L = 2M maka nilai x dan y berturut-turut ….
A.
B.
C.
D.
E.
0 komentar:
Posting Komentar