Senin, 01 April 2019

MATERI UJIAN " TURUNAN FUNGSI "



Sebuah roket membawa satelit yang akan diorbitkan di luar angkasa. Misalkan jarak s yang ditempuh setelah t detik adalah  s = 10t2 m. Dari informasi ini dapatkah kita hitung kecepatan  roket saat t = 1 detik, saat t = 2 detik, dan seterusnya. Dengan mempelajari turunan fungsi aljabar , kita coba menyelesaikan permasalahan di atas.

A.      Pengertian Turunan Fungsi
Turunan fungsi  adalah fingsi  (dibaca “  aksen”) yang nilainya untuk sembarang  didefinisikan sebagai :  , apabila limit terdefinisi.

Contoh :
Diketahui fungsi  yang ditentukan oleh  . Hitunglah nilai dari
Jawab :
           
             = 4 + 8 = 12
           
                       
                       
           
  = 0 + 8 = 8

Untuk menentukan fungsi turunan menggunakan cara di atas kurang efektif dan efisien.
Untuk mempermudah perhitungan, sebaiknya menggunakan bentuk – bentuk umum yang disajikan sebagai teorema – teorema dasar turunan fungsi, sebagai berikut :
1.   Aturan fungsi konstan
     Jika , dengan k sebuah konstanta maka untuk setiap , berlaku
2.   Aturan fungsi identitas
     Jika , maka
3.   Aturan pangkat
     Jika , dengan a dan n bilangan real tidak nol, maka
4.   Aturan kelipatan konstanta
     Jika f(x) = ku(x) dengan k suatu konstanta dan u(x) mempunyai turunan u’(x), maka
5.   Aturan jumlah
Jika f(x) dan g(x) fungsi – fungsi yang mempunyai turunan f’(x) dan g’(x), maka :
6.   Aturan selisih
Jika f(x) dan g(x) fungsi – fungsi yang mempunyai turunan f’(x) dan g’(x), maka :
7.   Aturan hasil kali
Jika f(x) dan g(x) fungsi – fungsi yang mempunyai turunan f’(x) dan g’(x), maka :
8.   Aturan hasil bagi
Jika f(x) dan g(x), dengan g(x) 0 merupakan fungsi – fungsi yang mempunyai turunan f’(x) dan g’(x), maka :

Contoh
1. Jika , maka  = . . ..

Pembahasan :
 =  = 
 =  = 
2. Turunan pertama dari fungsi   adalah . . .
     Pembahasan :
      =
      = 
    
3.  Diketahui  . Jika , maka nilai . . .
     Pembahasan :
    
      4 + 4p = 0
                         p = -1

B.      Aplikasi turunan fungsi aljabar
Contoh dalam kehidupan sehari–hari, Anda tentu sering menghadapi permasalahan ketika ingin mendapatkan jalan terbaik dalam melakukan sesuatu hal. Misalnya, seorang petani ingin memiliki kombinasi hasil panen yang dapat menghasilkan keuntungan terbesar, dan seorang dokter ingin menentukan dosis obat yang terkecil untuk menyembuhkan suatu penyakit. Masalah–masalah tersebut dapat dirumuskan dengan melibatkan memaksimumkan dan meminimumkan suatu fungsi tertentu. Untuk lebih jelasnya, coba Anda perhatikan penggunaan turunan fungsi pada contoh berikut ini.
Contoh
1.    Sebuah perusahaan ekspor dan impor memiliki x karyawan yang masing – masing memperoleh gaji (180x – 3x2) ribu rupiah per bulan.
a. Berapa jumlah karyawan perusahaan tersebut agar total gaji seluruh karyawan maksimum?
b. Berapa gaji untuk satu karyawan?

Pembahasan :
a.    Dimisalkan: g(x) = 180x – 3x²
g ' (x) = 180 – 3.2x
= 180 – 6x
Menentukan titik stasioner: g ' (x) = 0
180 – 6x = 0
6x = 180
x =180
x = 30
Jadi, jumlah karyawan perusahaan tersebut adalah 30 orang.
b.       Jika x =30, maka g(30) = 180 . 30 – 3(30)²
= 5400 – 2700
= 2700
Jadi, gaji masing–masing karyawan sebesar Rp2.700.000,00 per bulan.

2.    Selembar karton dengan panjang 16 cm dan lebar 10 cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berbentuk persegi (bujur sangkar) yang sisinya x cm. Tentukan :
       a. panjang dan lebar alas kotak dinyatakan dalam x.
       b. volume kotak sebagai fungsi x
       c.       nilai x agar folume kotak maksimum
       d. ukuran (panjang, lebar, tinggi) kotak yang volumenya maksimum

Pembahasan :
x
x
x
x
x
x
10 - 2x
10 - 2x
16 - 2x
x
 
      



x
16 - 2x
x
 
       a. Panjang (p) = 16 – 2x
           Lebar (l)  = 10 – 2x
       b. Volume kotak = p . l . t
           V(x) = (16 – 2x)(10 – 2x)(x)
                   = 4x3 – 52x2 + 160x
       c. Volume kotak maksimum ketika V’(x) = 0
           12x2 – 104x + 160 = 0 (dibagi 4)
           3x2 – 26x + 40      = 0
           (3x – 20)(x – 2)     = 0
           Nilai x yang memenuhi adalah x = 2
       d. Panjang     = (16 – 2x) = 16 – 4 = 12 cm
           Lebar         = (10 – 2x) = 10 – 4 = 6 cm
           Tinggi       = x = 2 cm

3.    Sebuah benda bergerak sepanjang suatu kurva. Pada saat t, posisi benda ditentukan oleh persamaan s (t) = t3 – 3t2 + 9t, dimana s dalam meter dan t dalam detik.
a.       Kapankah partikel tersebut akan berhenti?
b.       Berapakah jarak maksimum yang ditempuh benda?

Pembahasan :
a.    Panjang lintasan benda: s (t) =
t3 – 3t2 + 9t
Maka s' (t) =
3t 3 – 1 – 3. 2. t2 – 1 – 3t2 + 9t 1 – 1= t2 – 6t + 9
Syarat benda berhenti adalah kecepatan v = 0
Karena v = s' (t) maka v = 0
s' (t) = 0
t2 – 6t + 9 = 0
(t – 3) (t – 3) = 0
t – 3 = 0
t = 3
Jadi, benda tersebut berhenti setelah 3 detik
b.    Jarak maksimum:
s (3) =  (3)3 – 3 (3)2 + 9 (3)
= 9 – 27 + 27
= 9
Jadi, jarak maksimum yang ditempuh benda adalah 9 meter.




UJI KOMPETENSI  11

Indikator Soal 1 :menyelesaikan soal turunan fungsi aljabar


2.       Nilai turunan  f(x) =  untuk x = 8 adalah ….
A.                                             
B.                                   
C.
      D. 
      E.   0

3.   Turunan pertama dari fungsi f(x) = 3x3 + 2x2 + 6x + 6 adalah f (x). Nilai f (-1) = ….
A.    -15                  
B.    -10                  
C.    -5
D.    0
E.     5

4.   Turunan pertama dari fungsi f(x) = 4x3-15x2 + 12x - 9 adalah f(x). Nilai f(3) adalah….
A.    120                 
B.    90                   
C.    60
D.    30
E.     12

5.   Turunan fungsi  adalah....
A.             
B.             
C.   
D.   
E.    

6.   Jika f(x) = , maka turunannya adalah f’(x) = ....
A.            
B.            
C.   
D.   
E.   

7. Turunan dari fungsi   adalah ….
A.           
B.           
C. 
D.
E.

8.     Turunan pertama dari  adalah ….
A.          
B.   
C.
D.
E.

9.   Turunan pertama dari fungsi y = (x – 5)(2x + 3)3 adalah y’ = ….
      A. (5x – 2)(2x + 3)2
B. (5x – 12)(2x + 3)2
      C. (8x – 2)(2x + 3)2
      D. (8x – 7)(2x + 3)2
      E. (8x – 27)(2x + 3)2

10. Diketahui . Jika f(x) menyatakn turunan pertama  f(x), maka f(0) = 2 , f(0) = ….
  1. – 10
  2. – 9
  3. – 7
  4. – 5
  5. – 3





Indikator Soal 2 : menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan turunan fungsi aljabar.

1.   Nilai minimum fungsi f(x) = x3 – 6x2 – 4 pada interval -3 ≤ x ≤ 3 adalah …
A.    –85              
B.    –52              
C.    –36
D.    – 20
E.     – 12

2.   Suatu kurva dengan persamaan y = f(x), dimana f(x) = 4 +3x – x3 untuk    x ≥ 0. Nilai maksimum dari f(x) adalah...
A.  4
B.  5
C.  6
D.  7
E.  8         

3.   Nilai maksimum dari fungsi f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x pada interval  0 ≤ x ≤ 5 adalah….
A.  0                     
B.  5                     
C.  4
D.  45
E.  85

4.   Nilai maksimum dari  adalah ….
  1.               
  2.               

2.       Sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi, mempunya volume 4 m ³ terbuat dari selmbar karton. Agar karton yang diperlukan sedikit mungkin, maka ukuran panjang, lebar, dan tinggi kotak berturut – turut adalah ….
A.      2 m, 1 m, 2 m
B.      2 m, 2 m, 1 m
C.      1 m, 2 m, 2 m
D.      4 m, 1 m, 1 m
E.       1 m, 1 m, 4 m
                                   
6.       Sebuah perusahaan memproduksi x buah barang dengan biaya dinyatakan dalam fungsi B(x) = 120x – 3x2 (dalam jutaan rupiah), Hasil penjualan maksimum yang diperoleh adalah . . .
A.    Rp 660.000.000,00                            
B.    Rp 1.000.000.000,00             
C.    Rp 1.200.000.000,00
D.    Rp 1.860.000.000,00
E.     Rp 2.400.00.000,00 

7.   Untuk memproduksi x pasang sepatu perhari diperlukan biaya (6x2–8x+10) ribu rupiah, sedangkan harga jual x pasang sepatu ribu rupiah. Keuntungan maksimum perhari akan didapat jika sepatu yang diproduksi perhari adalah …. pasang
A.      12
B.      9
C.      7
D.      5
E.      3       

8.     Sebuah persegi panjang diketahui   panjang  ( 2x + 4 ) cm dan lebar ( 8 – x ) cm. Agar luas persegi panjang maksimum, ukuran lebar adalah ….
A.       7 cm            
B.       6 cm            
C.       5 cm
D.       3 cm
E.        2 cm

9.   Sebuah roket ditembakkan vertical ke atas dengan ketinggian h meter, dirumuskan sebagai h(t) = 100t – 2t2. Tinggi maksimum yang dapat dicapai adalah ….. m.
A.      1000
B.      1250
C.      2250
D.      2500
E.      2000             

         
10. Perhatikan gambar !



Luas daerah yang diarsir pada gambar di atas akan mencapai maksimum jika koordinat titik B adalah ….
A.      (2 ½ , 1 ½ )
B.      (2 ½ , 2)                   
C.      (3, 2 ½ )
D.      (3, 2 )
E.      (3, 1 ½ )